大同市高級技工學校

也談“幾何直觀”的認識及運用

2011版《課程標準》中提出的十個核心概念中,“幾何直觀”是重新修訂時新增出來的重要理念?!墩n標》中指出:借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡單、形象,有助于探索解決問題的思路,預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀的理解數學,在整個數學學習過程中都發揮著重要的作用。很顯然《課標》對“幾何直觀”在教學中的作用是很重視的,它在整個小學和初中的學習中都發揮著重要的作用?!墩n標》制定組的專家教授對其作了解讀,作為我們一線教師有必要深入的領會“幾何直觀”的內涵和重要作用,思考在教學中如何去運用“幾何直觀”。

一、為什么要重視“幾何直觀”

為什么要重視“幾何直觀”呢?數學是對客觀現象抽象概括而逐步形成的,它是研究數量關系和空間形式的科學,所以數學的知識是抽象的,學習數學需要的是抽象思維和推理能力。而作為小學生的抽象思維能力還在逐步形成和成長之中,在學習和思考問題的時候更多的借助形象思維,借助實物操作或者具體的圖形、圖像。即使是到了高年級,學生有了一定的抽象思維能力,對于數量之間抽象的聯系,推理過程中間問題的含義,在分析思考過程中,學生容易迷失或形成錯誤的理解。所以在思考的過程中用直觀形象的圖形、符號把問題表述出來,把思考的過程描述出來,把看不見的抽象思維顯現出來、固化下來,對于學生進一步思考、探索問題的思路、終解決問題都有極大的幫助。

二、“幾何直觀”的內涵

《課標》中指出“幾何直觀”主要是指利用圖形描述和分析問題。首都師范大學的劉曉玫教授說:幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對事物的性質獲數量關系的直接感知。所以“圖形與幾何”領域的數學問題運用“幾何直觀”,通過畫幾何圖形來分析,是常用,有效的。但筆者認為“幾何直觀”作為數學學習的一個重要思想和思維方法,并不局限于“圖形與幾何”領域,還可以運用到“數與代數”、“統計與概率”、“綜合與實踐”等其他知識領域。所以這里的“圖形”不能局限于幾何圖形,還可以是運算符號、圖形、以及方框、箭頭等直觀的符號組合表示的圖示語言,甚至用文字、符號、字母等表示出來的數量關系式都可以看成是“圖形直觀”。用這種圖示語言可以簡明直觀地表示出數量關系,有助于探索解決問題的思路。

另外值得注意的是“幾何直觀”中所指的“直觀”,不僅僅是直觀的再現問題情境,而應該是過濾掉用語言文字描述的問題情境中的凌亂的、情節性的、非本質的信息,它是經過概括、提煉后的直觀。它使得問題情境數學化,抽象化,具有形象具體又簡單抽象的雙重特點,只有這樣的“直觀”才能凸顯問題中的數量關系,有助于探索解決問題的思路。

三、“幾何直觀”在教學中的運用

“幾何直觀”作為一種數學思維的方法,在整個數學學習過程中都發揮著重要作用,在不同年級,解決不同類型的問題中都能發揮很好的作用。下面結合幾個教學中的例子談一談。

1、在低年級時,有些較復雜的實際問題用“幾何直觀”的方法來幫助分析題意,學生 才容易理解。比如有這樣一個問題,“媽媽買來一些桃,上午吃了一半,下午又吃了剩下的一半,盤里還剩下3個,媽媽原來買了多少個桃?”。一些學生對逆向思考的數量關系難以理解,教學時教師可以用正方形畫圖來表示問題意思,幫助學生理解題意。(如圖)有了這個直觀圖形的支撐,學生很容易推想原來桃子的個數,3×2=6個,6×2=12個。

在低年級的教學中,教師要有意識引導學生學會看懂圖示語言,體會到示意圖的既簡潔又形象,容易找到解決問題的思路的優點,讓學生對圖示語言產生好感和畫圖的愿望,培養“幾何直觀”的意識。

2、圖形問題中運用“幾何直觀”尤為有效。比如四年級下冊中幾何圖形面積的計算中有這樣一個問題?!皬埱f小學原來有一個長方形操場,長50米,寬40米。擴建校園時,操場的 長增加了10米,寬增加了8米。操場的面積增加了多少平方米?”這個問題,不畫示意圖,有些學生容易理解成為增加的面積是10×8=80平方米。讓學生畫出示意圖后學生就理解增加的面積不是一個長方形,而是一個“L”形。要通過分割成幾個長方形來求增加部分的面積?!皫缀沃庇^”的作用是顯而易見的。


3、行程問題中也常用線段圖來分析問題。比較復雜的行程問題,關系到兩個物體的運動方向和路程,數量關系比較復雜,用箭頭、線段來表示行走的方向和路程能直觀形象的表示出路程之間的數量關系。比如:一艘貨輪和一艘客輪同時從南京開往武漢??洼喢啃r行23千米,貨輪每小時行28千米。經過20小時貨輪到達武漢,客輪距離武漢有多少千 米?這個問題,可以讓學生自己根據題目的敘述,逐步畫出線段圖,學生就會理解,要求客輪距武漢有多少千米,就是求貨輪與客輪的路程差。從而列出算式28×20-23×20=100米,示意圖的作用顯而易見。

4、倒推問題中借助“幾何直觀”來分析也很有效。五年級學習用倒推法解決的實際問題特點很明顯,學生往往知道要用倒推的策略,但較復雜的倒推問題在分析時,學生卻不容易理解其中的數量關系,容易導致思路的混淆。所以教會學生畫倒推示意圖來分析題意尤 為重要。比如,“小明原來有一些郵票,今天有收集了24張,送給小軍30張后,還剩52張。小明原來有多少張郵票?”畫出這種方框加箭頭的圖更加容易理解,思路一目了然。

再如,多個數量一同變化的復雜倒推實際問題,畫多行方框加箭頭的示意圖來分析會更有效。比如:有一個書架有上中下三層,共有360本圖書。從上層拿30本到中 層,再從中層拿45本到下層,再從下層拿35本到上層后,三層的圖書同樣多。原來三層上各有多少本書?這道題中的有三個數量,都有兩次變化,比較復雜。而引導學生用方框和箭頭示意圖的方法,畫出三層中圖書的變化情況,問題同樣可以一目了然,迎刃而解??粗@個示意圖,學生不難列出算式。上層:120-35+30=115本,中層120+45-30=135本,下層120+35-45=110本。

5、運用圖形文字表述的數量關系式也能幫助學生直觀的分析問題。比如有這樣一個問題:星期天,小紅去超市買了2支鋼筆和3支圓珠筆共用了31元,小強也買了同樣的2支鋼筆和5支圓珠筆,一共用了41元。你知道每只圓珠筆多少錢,每只鋼筆多少錢?題目中鋼筆和圓珠筆的單價都是未知量,學生解決起來有些困難。我們可以把題目中的數量關系用等量量關系式并排寫出來,讓學生觀察兩個等量關系式的相同和不同,學生很容易發現兩人的鋼筆數量相等,小強比小紅多買了2只圓珠筆,小強比小紅多花了10元錢。從而分析出2只圓珠筆是10元錢,所以用(41-31)÷(5-3)=5元,算出一只圓柱筆5元錢。再根據等量關系式倒推出鋼筆的價格,(31-5×3)÷2=8元。這里等量關系式雖然是抽象的,但寫出這兩個等量關系式 ,讓學生看到,并進行比較,學生能直觀的看到多出的2支圓珠筆和多花的10元錢的對應關系,學生分析理解起來就顯得更容易了。所以等量關系式在某種程度上也應該看成是直觀的形式,寫出問題中的等量關系式,在解決問題中也發揮很大作用。

以上的舉的這些例子中,雖然用的圖形、符號的形式不同,但都很好的體現了“幾何直觀”這種思想方面在解決問題中的運用,其實這樣的例子還有很多,比如分數的實際問題,長方體、正方體等立體圖形的表面積和體積問題、周期問題、植樹問題等等,我們在解決稍復雜的數學問題時都會自覺運用“幾何直觀”的方法來分析??傊?,“幾何直觀”作為2011版《課程標準》提出來的新增加的核心概念,是學習數學中的常用的思考問題的方法,在數學教學中有非常重要的意義,讓學生養成用圖形符號語言的直觀方法來分析問題,解決問題的習慣,有助于提升學生解決問題的能力,同時還有助于培養學生的符號意識、模型思想,提升學生的數學素養。